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순서통계량의 누적분포함수(cdf)와 확률밀도함수(pdf) $X_1,\, X_2,\, \cdots, \, X_n$이 확률변수 $X$의 iid random sample일 때 랜덤샘플을 크기 순서대로 늘어놓은 $X_{(1)} y+dy)^{n-s} \\ &= \frac{n!}{(r-1)!(s-r-1)!(n-s)!} F(x)^{r-1} \, f(x)dx \, \left[ F(y) - F(x+dx) \right]^{s-r-1} \, f(y)dx \, \left[1-F(y+dy) \right]^{n-s} \end{align*}$ 위 식의 양변에서 $dx,\,dy$를 떼주고, $dx, dy \rightarrow 0$을 취해주면 $(X_{(r)}, X_{(s)})$의 결합확률밀도함수를 얻을 수 있다. $r$, $s$번째 순서통계량 $(X_{(r)}, X_{(s)})$의 결합확..
수리통계 정적분 빠르게 계산하는 꿀팁(ㄹㅇ빠름) 수리통계 문제를 풀다보면 다음과 비슷한 꼴의 정적분을 계산해야 하는 경우가 매우 많다. $$\begin{align*} \int_{0}^{\infty} x^2 e^{-x/2} \, dx \end{align*}$$ 대부분의 경우 부분적분을 통해 정적분을 계산하겠지만, 다음에 소개할 테크닉을 사용하면 이러한 적분꼴을 매우 빠르고 정확하게 계산할 수 있다. 설명하기에 앞서 확률밀도함수(probability density function, pdf)에 대해 이해할 필요가 있다. 확률변수 $X$의 확률밀도함수 $\displaystyle f_X(x)$ 는 다음 두 가지 중요한 성질을 가진다. $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) \, dx = 1$ $f_X(x) \ge 0 ..
디리클레분포(Dirichlet distribution) 디리클레분포의 정의 $\mathbf{X} = (X_1,\dots,X_K) \sim Dirichlet(\alpha_1, \dots, \alpha_K)$일 때 $\mathbf{X}$는 $K-1$ simplex 위의 support(정의역) $$S_K = \{ \mathbf{x} : 0 \le x_i \le 1, \sum_{i=1}^{K}{x_i} = 1 \}$$ 에서 정의되며, 확률밀도함수(pdf)는 다음과 같이 주어진다. $$f(x_1,\dots,x_K) = \frac{\Gamma(\alpha_0)}{\Gamma(\alpha_1) \cdots \Gamma(\alpha_K)} \prod_{i=1}^{K}x_i^{\alpha_i-1}\mathrm{I}_{\mathbf{x} \in S_k}(\mathbf{x})$..
분할행렬(partioned matrix)의 역행렬 $$\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} M & -MBD^{-1} \\ -D^{-1}CM & D^{-1}+D^{-1}CMBD^{-1} \end{pmatrix} $$ where $$M = (A-BD^{-1}C)^{-1}$$ 다변량 정규분포의 conditioning 등에 종종 사용된다.
베타분포(Beta distribution) 베타분포의 정의 $X \sim Beta(\alpha, \beta)$일 때 $X$의 pdf는 $$ f(x) = \frac{\Gamma(\alpha + \beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}\mathrm{I}(0 0 \right\}$, $\mathbf{Y_u} = \left\{ (y_1,y_2) | 0
왜도(skewness)와 첨도(kurtosis) 왜도(Skewness) 정의 확률변수 $X$에 대해 왜도는 다음과 같이 정의된다. $$\gamma_1 = E\left[ \left( \frac{x-\mu}{\sigma} \right)^3 \right]$$ 여기서 $\mu$는 $X$의 평균, $\sigma$는 $X$의 표준편차이며 각각 $$\begin{align*} \mu = E(X), \sigma = \sqrt{ E(X^2) - \{ E(X) \}^2 } \end{align*}$$ 로 정의된다. 표본왜도 $X$의 랜덤표본 $(X_1, \dots, X_n)$가 있을 때, 표본왜도는 다음과 같이 정의된다. (여러 type이 있다고 한다.) $$g_1 = \frac{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}{(X_i - \bar{X}})^3 }{\le..
감마분포(Gamma distribution) 감마분포(Gamma distribution) 감마분포는 두 개의 모수 $\alpha$, $\beta$를 가지며, 각각 형상모수(shape parameter), 척도모수(scale parameter)로 부른다. 감마함수의 pdf를 쓰기 위해서는 먼저 감마함수(Gamma function)을 정의해야한다. 감마함수(Gamma function) 감마함수는 다음과 같이 정의된다. $$\Gamma(\alpha) = \int_{0}^{\infty}{e^{-x}x^{\alpha-1} dx} $$ 특성 $\Gamma(x+1) = x \Gamma(x), x>0$ (증명) $$ \begin{align*} \Gamma(x+1) &= \int_{0}^{\infty}{ e^{-y} y^x dy } \\ &= \Big[-e^{-y..
적률생성함수 (mgf) MGF란? 확률변수 $X$가 있을 때 $e^{tX}$의 기대값 $E(e^{tX})$을 확률변수 $X$의 적률생성함수(mgf, moment generating function)이라 한다. 정확히 표현하면, 0을 포함하는 열린구간 $t$값에 대해 $E(e^{tX})$가 실수일 때, 함수 $$ M(t) = E(e^{tX}), \quad -h 0) $$ 를 확률변수 $X$의 적률생성함수라고 한다. MGF의 성질 $$ \begin{align*} M_{X}(t) = E(e^{tX}) &= E( \sum_{k = 0}^{\infty}{\frac{t^k X^k}{k!}}) \\ &= 1 + E(X) + \frac{E(X^2)}{2!} + \frac{E(X^3)}{3!} + \d..

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