포아송 분포의 기대값 계산

포아송 분포 $ X \sim Poisson(1) $ 일 때, $E( \cos{ (\pi X)}) $ ?

포아송 분포 $ X \sim Poisson(\lambda) $ 의 pdf는 다음과 같다.

 

$$ f_{X}(x) = \frac{e^{\lambda} \lambda ^{x} }{x!} $$

 

$ cos(\pi x) $ 는 1, -1, 1, -1 이 반복되는 series 이므로 $ (-1)^{x}$ 로 바꿔 쓸 수 있다.

 

 

 

기대값 계산

 

기대값을 계산해보면 다음과 같다.

 

$$ \begin{align*} E(\cos{\pi X}) &= E( (-1)^{X} ) \\ &= \sum_{x = 0}^{\infty}{ (-1)^{x} f_{X}(x) } \\ &= \sum_{x=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{x} e^{-1} 1^{x} }{x!}} \\ &=  \frac{1}{e} \sum_{x = 0}^{\infty}{\frac{(-1)^{x}}{x!}} \\ &= \frac{1}{e^2} \end{align*} $$